1. वास्तविक संख्या क्या है?

वे सभी संख्याएँ जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है, वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।

वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल होती हैं।

उदाहरण:

$$2,\ -5,\ 0,\ \frac{3}{4},\ \sqrt2,\ \sqrt3,\ \pi$$

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2. संख्याओं के प्रकार

(i) प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers)

गिनती की संख्याएँ:$$1,2,3,4,5,\ldots$$

(ii) पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers)

$$0,1,2,3,4,\ldots$$

(iii) पूर्णांक (Integers)

$$\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$$

(iv) परिमेय संख्या (Rational Number)

जिसे$$\frac pq$$

के रूप में लिखा जा सके, जहाँ $q\neq0$, वह परिमेय संख्या है।

उदाहरण:$$\frac23,\ -\frac57,\ 4,\ 0.25$$

(v) अपरिमेय संख्या (Irrational Number)

जिसे $\frac pq$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता, वह अपरिमेय संख्या है।

उदाहरण:$$\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5,\pi$$

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⭐ 3. वास्तविक संख्याओं का संबंध

             वास्तविक संख्याएँ
                    │
          ┌─────────┴─────────┐
          ↓                   ↓
      परिमेय संख्याएँ      अपरिमेय संख्याएँ
          │
   ┌──────┴──────┐
   ↓             ↓
पूर्णांक       भिन्न आदि

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📌 4. यूक्लिड विभाजन प्रमेय

यदि $a$ और $b$ दो धनात्मक पूर्णांक हैं, तो:$$\boxed{a=bq+r}$$

जहाँ:

• $a$ = भाज्य
• $b$ = भाजक
• $q$ = भागफल
• $r$ = शेषफल

और$$\boxed{0\le r<b}$$

उदाहरण:

17 को 5 से भाग देने पर:$$17=5\times3+2$$

यहाँ:

a = 17, b = 5, q = 3, r = 2

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🔥 5. HCF निकालने के लिए Euclid Algorithm

उदाहरण: 135 और 225 का HCF$$225=135\times1+90$$$$135=90\times1+45$$$$90=45\times2+0$$

जिस चरण में शेषफल 0 आता है, उससे पहले वाला शेषफल HCF होता है।$$\boxed{HCF=45}$$

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⭐ 6. अंकगणित का मौलिक प्रमेय

हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक निश्चित तरीके से लिखा जा सकता है।

उदाहरण:

$$60=2\times2\times3\times5$$

या$$\boxed{60=2^2\times3\times5}$$

इसे Prime Factorisation कहते हैं।

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🔢 7. अभाज्य संख्या क्या है?

जिस संख्या के केवल दो गुणनखंड हों:

1 और स्वयं संख्या

उसे अभाज्य संख्या कहते हैं।

उदाहरण:

$$2,3,5,7,11,13,17…$$

ध्यान दें: 2 सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

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🧮 8. HCF और LCM का महत्वपूर्ण संबंध

दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए:$$\boxed{HCF(a,b)\times LCM(a,b)=a\times b}$$

उदाहरण:

12 और 18$$HCF=6$$$$LCM=36$$

इसलिए:$$6\times36=12\times18$$$$216=216$$

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⭐ 9. परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार

यदि$$\frac pq$$

सबसे सरल रूप में है और $q$ के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हैं, तो दशमलव प्रसार सांत (Terminating) होगा।

उदाहरण:

$$\frac12=0.5$$$$\frac54=1.25$$$$\frac78=0.875$$

क्योंकि:$$8=2^3$$

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🔄 10. असांत आवर्ती दशमलव

यदि हर $q$ में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड है, तो दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

उदाहरण:

$$\frac13=0.3333…$$$$\frac27=0.285714285714…$$

यह दशमलव कभी समाप्त नहीं होता लेकिन एक पैटर्न दोहराता है।

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❌ 11. अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार

अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार:

असांत और अनावर्ती होता है।

उदाहरण:

$$\sqrt2=1.4142135…$$$$\sqrt3=1.7320508…$$

इनमें कोई निश्चित पैटर्न बार-बार नहीं दोहराता।

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🧠 12. महत्वपूर्ण प्रमेय: √2 अपरिमेय है

मान लेते हैं कि:$$\sqrt2=\frac pq$$

जहाँ $p,q$ सह-अभाज्य हैं और $q\neq0$।

दोनों तरफ वर्ग:$$2=\frac{p^2}{q^2}$$$$p^2=2q^2$$

इससे $p^2$ सम है, इसलिए $p$ भी सम होगा।

मान लें:$$p=2k$$

तो:$$p^2=4k^2$$

इसलिए:$$4k^2=2q^2$$$$q^2=2k^2$$

इससे $q$ भी सम होगा।

इस प्रकार $p$ और $q$ दोनों सम हैं, जो इस बात के विपरीत है कि वे सह-अभाज्य थे।

अतः:$$\boxed{\sqrt2\text{ अपरिमेय है}}$$

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🔢 13. √3 और √5 भी अपरिमेय हैं

इसी प्रकार प्रमाण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है कि:$$\boxed{\sqrt3,\sqrt5,\sqrt7…}$$

जैसी संख्याएँ अपरिमेय हो सकती हैं, जब इनके अंदर का धनात्मक पूर्णांक पूर्ण वर्ग न हो।

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📚 परीक्षा के बहुत महत्वपूर्ण प्रश्न

Q1. वास्तविक संख्या क्या है?

उत्तर: परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को मिलाकर वास्तविक संख्याएँ बनती हैं।

Q2. परिमेय संख्या क्या है?

उत्तर: जिसे $p/q$ के रूप में लिखा जा सके, जहाँ $q\neq0$, परिमेय संख्या कहलाती है।

Q3. अपरिमेय संख्या क्या है?

उत्तर: जिसे $p/q$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता, वह अपरिमेय संख्या है।

Q4. यूक्लिड विभाजन प्रमेय लिखिए।

उत्तर:$$\boxed{a=bq+r,\quad0\le r<b}$$

Q5. अभाज्य संख्या क्या है?

उत्तर: जिसके केवल दो गुणनखंड 1 और स्वयं संख्या हों।

Q6. 2 कैसी संख्या है?

उत्तर: 2 सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

Q7. अंकगणित का मौलिक प्रमेय क्या है?

उत्तर: प्रत्येक संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।

Q8. HCF और LCM का संबंध लिखिए।

उत्तर:$$\boxed{HCF\times LCM=दोनों\ संख्याओं\ का\ गुणनफल}$$

Q9. $\frac{7}{8}$ का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

उत्तर: सांत।$$\frac78=0.875$$

Q10. $\frac13$ का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

उत्तर: असांत आवर्ती।$$\frac13=0.333…$$

Q11. अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार कैसा होता है?

उत्तर: असांत और अनावर्ती।

Q12. क्या 0 परिमेय संख्या है?

उत्तर: हाँ।$$0=\frac01$$

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🧮 Important Questions — हल सहित

प्रश्न 1: 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए।

$$404=96\times4+20$$$$96=20\times4+16$$$$20=16\times1+4$$$$16=4\times4+0$$

अतः:$$\boxed{HCF=4}$$

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प्रश्न 2: 12 और 18 का LCM ज्ञात कीजिए।

Prime Factorisation:$$12=2^2\times3$$$$18=2\times3^2$$

LCM में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात लेते हैं:$$LCM=2^2\times3^2$$$$\boxed{LCM=36}$$

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प्रश्न 3: जाँचिए कि $\frac{13}{40}$ का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं।

$$40=2^3\times5$$

हर में केवल 2 और 5 हैं।

अतः दशमलव प्रसार सांत होगा।$$\boxed{\frac{13}{40}=0.325}$$

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🔥 सबसे जरूरी Revision

याद रखने वाली बातें:

Real Numbers = Rational + Irrational

Euclid Division:$$\boxed{a=bq+r}$$

HCF × LCM:$$\boxed{HCF\times LCM=a\times b}$$

हर में केवल 2 और 5 → Terminating

हर में 2 और 5 के अलावा अन्य अभाज्य गुणनखंड → Non-terminating recurring

Irrational → Non-terminating + Non-recurring

Prime Number → केवल 2 factors

2 → एकमात्र सम अभाज्य संख्या

√2, √3, √5 → अपरिमेय

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⭐ परीक्षा में सबसे ज्यादा ध्यान दें

1. Euclid Division Algorithm से HCF
2. Prime Factorisation
3. HCF और LCM
4. दशमलव प्रसार का नियम
5. √2 को अपरिमेय सिद्ध करना
6. परिमेय और अपरिमेय संख्या में अंतर
7. Terminating और Non-terminating decimal