1. बहुपद क्या है?

चर $x$ के ऐसे व्यंजक जिसमें $x$ की घात 0, 1, 2, 3… जैसी पूर्ण गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो, उसे बहुपद कहते हैं।

उदाहरण:

$$2x+3$$$$x^2+5x+6$$$$3x^3-2x+7$$

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⭐ 2. बहुपद की घात (Degree)

बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात को उसकी घात कहते हैं।

उदाहरण:

$$5x+2$$

घात = 1$$x^2+3x+5$$

घात = 2$$2x^3+x^2-4$$

घात = 3

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🔢 3. बहुपद के प्रकार

(i) रैखिक बहुपद

घात = 1$$ax+b$$

उदाहरण:$$2x+3$$

(ii) द्विघात बहुपद

घात = 2$$ax^2+bx+c$$

उदाहरण:$$x^2+5x+6$$

(iii) त्रिघात बहुपद

घात = 3$$ax^3+bx^2+cx+d$$

उदाहरण:$$x^3+2x^2+x+4$$

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📌 4. शून्यक (Zeroes) क्या हैं?

बहुपद $p(x)$ का वह मान जहाँ:$$\boxed{p(x)=0}$$

हो जाता है, उसे बहुपद का शून्यक कहते हैं।

उदाहरण:

$$p(x)=x-3$$

यदि $x=3$,$$p(3)=3-3=0$$

अतः 3 इसका शून्यक है।

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⭐ 5. रैखिक बहुपद के शून्यक

यदि:$$p(x)=ax+b$$

तो इसका शून्यक:$$\boxed{x=-\frac ba}$$

उदाहरण:

$$2x+6=0$$$$2x=-6$$$$\boxed{x=-3}$$

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🧮 6. द्विघात बहुपद

द्विघात बहुपद:$$\boxed{ax^2+bx+c}$$

जहाँ $a\neq0$

इसके अधिकतम 2 शून्यक हो सकते हैं।

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⭐ 7. द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों का संबंध

यदि $α$ और $β$, बहुपद$$ax^2+bx+c$$

के शून्यक हैं, तो:

शून्यकों का योग:

$$\boxed{α+β=-\frac ba}$$

शून्यकों का गुणनफल:

$$\boxed{αβ=\frac ca}$$

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🔥 8. उदाहरण

बहुपद:$$x^2-5x+6$$

यहाँ:$$a=1,\quad b=-5,\quad c=6$$

शून्यकों का योग:$$-\frac{-5}{1}=5$$

शून्यकों का गुणनफल:$$\frac61=6$$

वास्तव में:$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

इसलिए शून्यक:$$\boxed{2,3}$$

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📘 9. शून्यकों से बहुपद बनाना

यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक $α$ और $β$ हैं, तो:$$\boxed{x^2-(α+β)x+αβ}$$

उसका बहुपद होगा।

उदाहरण:

शून्यक 2 और 5 हैं।

योग:$$2+5=7$$

गुणनफल:$$2\times5=10$$

बहुपद:$$\boxed{x^2-7x+10}$$

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🧠 10. घन बहुपद

घन बहुपद:$$ax^3+bx^2+cx+d$$

यदि इसके शून्यक $α,β,γ$ हैं, तो:

शून्यकों का योग:

$$\boxed{α+β+γ=-\frac ba}$$

दो-दो शून्यकों के गुणनफलों का योग:

$$\boxed{αβ+βγ+γα=\frac ca}$$

तीनों शून्यकों का गुणनफल:

$$\boxed{αβγ=-\frac da}$$

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📊 11. ग्राफ से शून्यक

बहुपद का ग्राफ जहाँ x-अक्ष को काटता या छूता है, उन बिंदुओं के x-coordinate बहुपद के शून्यक होते हैं।

उदाहरण:

        y
        ↑
        │       ∪
        │      / \
────────┼─────/───\────→ x
       2│    /     \
        │

यदि ग्राफ x-अक्ष को $x=2$ और $x=4$ पर काटता है, तो शून्यक:$$\boxed{2,4}$$

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⭐ 12. ग्राफ और शून्यकों की संख्या

रैखिक बहुपद:

अधिकतम 1 शून्यक

द्विघात बहुपद:

अधिकतम 2 शून्यक

घन बहुपद:

अधिकतम 3 शून्यक

सामान्य नियम:

घात $n$ वाले बहुपद के अधिकतम $n$ शून्यक हो सकते हैं।

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🧮 13. Important Question

यदि $x^2-7x+12$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।

गुणनखंड:$$x^2-7x+12$$$$=(x-3)(x-4)$$

अतः:$$\boxed{x=3,4}$$

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🧮 14. शून्यकों का योग और गुणनफल जाँचिए

$$p(x)=2x^2-7x+3$$

यहाँ:$$a=2,\ b=-7,\ c=3$$

योग:$$α+β=-\frac{-7}{2}$$$$\boxed{\frac72}$$

गुणनफल:$$αβ=\frac32$$

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📌 15. बहुपद के भागों के नाम

$$\boxed{3x^2+5x-7}$$

में:

• $3$ → $x^2$ का गुणांक
• $5$ → $x$ का गुणांक
• $-7$ → अचर पद
• 2 → बहुपद की घात

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📚 परीक्षा के बहुत महत्वपूर्ण प्रश्न

Q1. बहुपद क्या है?

उत्तर: चर और अचर से बना ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें चर की घातें 0,1,2,3… जैसी पूर्ण गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हों, बहुपद कहलाता है।

Q2. बहुपद की घात क्या होती है?

उत्तर: चर की सबसे बड़ी घात बहुपद की घात कहलाती है।

Q3. शून्यक क्या है?

उत्तर: $p(x)=0$ करने पर प्राप्त $x$ का मान बहुपद का शून्यक कहलाता है।

Q4. $ax+b$ के शून्यक का सूत्र क्या है?

उत्तर:$$\boxed{-\frac ba}$$

Q5. द्विघात बहुपद का सामान्य रूप क्या है?

उत्तर:$$\boxed{ax^2+bx+c,\ a\neq0}$$

Q6. द्विघात बहुपद के कितने अधिकतम शून्यक हो सकते हैं?

उत्तर: 2।

Q7. यदि द्विघात बहुपद के शून्यक $α,β$ हैं, तो उनका योग क्या होगा?

उत्तर:$$\boxed{α+β=-\frac ba}$$

Q8. शून्यकों का गुणनफल क्या होगा?

उत्तर:$$\boxed{αβ=\frac ca}$$

Q9. घन बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?

उत्तर: 3।

Q10. ग्राफ से शून्यक कैसे ज्ञात करते हैं?

उत्तर: जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता या छूता है, वहाँ के x-coordinate शून्यक होते हैं।

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🔥 सबसे जरूरी सूत्र

रैखिक बहुपद:

$$\boxed{ax+b}$$

शून्यक:$$\boxed{-\frac ba}$$

द्विघात बहुपद:

$$\boxed{ax^2+bx+c}$$$$\boxed{α+β=-\frac ba}$$$$\boxed{αβ=\frac ca}$$

घन बहुपद:

$$\boxed{α+β+γ=-\frac ba}$$$$\boxed{αβ+βγ+γα=\frac ca}$$$$\boxed{αβγ=-\frac da}$$

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⭐ Last Minute Revision

घात 1 → रैखिक
घात 2 → द्विघात
घात 3 → त्रिघात
p(x)=0p(x)=0 → शून्यक
रैखिक के अधिकतम शून्यक → 1
द्विघात के अधिकतम शून्यक → 2
घन के अधिकतम शून्यक → 3
x-अक्ष से मिलने वाले बिंदु → शून्यक
द्विघात में शून्यकों का योग → −b/a-b/a
द्विघात में शून्यकों का गुणनफल → c/ac/a