1. त्रिभुज क्या है?

तीन भुजाओं से बनी बंद आकृति को त्रिभुज (Triangle) कहते हैं।

यदि किसी त्रिभुज के शीर्ष $A,B,C$ हैं, तो उसे:$$\boxed{\triangle ABC}$$

लिखते हैं।

इसकी तीन भुजाएँ हैं:$$AB,\ BC,\ CA$$

और तीन कोण हैं:$$\angle A,\angle B,\angle C$$

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2. त्रिभुजों की सर्वांगसमता

जब दो त्रिभुज आकार और माप दोनों में बिल्कुल समान हों, तो वे सर्वांगसम त्रिभुज (Congruent Triangles) कहलाते हैं।

चिह्न:$$\boxed{\cong}$$

उदाहरण:$$\triangle ABC\cong\triangle PQR$$

इसका अर्थ है कि दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाएँ और कोण बराबर हैं।

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3. सर्वांगसमता की शर्तें ⭐⭐⭐

दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए मुख्य नियम:

① SSS — Side Side Side

यदि दो त्रिभुजों की तीनों संगत भुजाएँ बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होंगे।$$\boxed{SSS}$$

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② SAS — Side Angle Side

यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर हो, तो त्रिभुज सर्वांगसम होंगे।$$\boxed{SAS}$$

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③ ASA — Angle Side Angle

यदि दो कोण और उनके बीच की भुजा बराबर हो, तो त्रिभुज सर्वांगसम होंगे।$$\boxed{ASA}$$

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④ RHS — Right angle Hypotenuse Side

समकोण त्रिभुजों में यदि:

• एक समकोण बराबर हो
• कर्ण बराबर हो
• एक संगत भुजा बराबर हो

तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होंगे।$$\boxed{RHS}$$

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4. समरूप त्रिभुज (Similar Triangles)

जिन त्रिभुजों का आकार समान हो लेकिन माप अलग हो सकता है, उन्हें समरूप त्रिभुज कहते हैं।

चिह्न:$$\boxed{\sim}$$

उदाहरण:$$\triangle ABC\sim\triangle DEF$$

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5. सर्वांगसम और समरूप में अंतर ⭐

सर्वांगसम	समरूप
आकार और माप दोनों समान	केवल आकार समान
संगत भुजाएँ बराबर	संगत भुजाएँ समान अनुपात में
$\cong$	$\sim$

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6. समरूपता की शर्तें ⭐⭐⭐

① AA Criterion

यदि दो त्रिभुजों के दो-दो कोण बराबर हों, तो वे समरूप होते हैं।$$\boxed{AA}$$

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② SSS Criterion

यदि संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप होंगे।$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD}$$

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③ SAS Criterion

यदि दो संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों और उनके बीच का कोण बराबर हो, तो त्रिभुज समरूप होंगे।

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7. मूल समानुपात प्रमेय ⭐⭐⭐

इसे Basic Proportionality Theorem (BPT) या Thales Theorem भी कहते हैं।

कथन:

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर रेखा खींची जाए और वह बाकी दो भुजाओं को काटे, तो वह दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।

मान लीजिए:$$DE\parallel BC$$

तो:$$\boxed{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}$$

यह बहुत महत्वपूर्ण प्रमेय है। ⭐⭐⭐

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8. BPT का विलोम

यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को काटने वाली रेखा दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होगी।

यदि:$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

तो:$$\boxed{DE\parallel BC}$$

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9. समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ

यदि:$$\triangle ABC\sim\triangle DEF$$

तो:$$\boxed{ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} }$$

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10. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का संबंध ⭐⭐⭐

यदि:$$\triangle ABC\sim\triangle DEF$$

तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।$$\boxed{ \frac{ar(\triangle ABC)} {ar(\triangle DEF)} = \left(\frac{AB}{DE}\right)^2 }$$

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11. पाइथागोरस प्रमेय ⭐⭐⭐

समकोण त्रिभुज में:$$\boxed{\text{कर्ण}^2=\text{आधार}^2+\text{लंब}^2}$$

यदि समकोण $B$ पर है:$$\boxed{AC^2=AB^2+BC^2}$$

जहाँ $AC$ कर्ण है।

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12. पाइथागोरस प्रमेय का विलोम

यदि किसी त्रिभुज में:$$AC^2=AB^2+BC^2$$

तो त्रिभुज $B$ पर समकोण त्रिभुज होगा।

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13. पाइथागोरस प्रमेय का उदाहरण

एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ 6 cm और 8 cm हैं। कर्ण ज्ञात कीजिए।$$h^2=6^2+8^2$$$$h^2=36+64$$$$h^2=100$$$$\boxed{h=10\text{ cm}}$$

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14. महत्वपूर्ण उदाहरण — BPT

यदि:$$AD=3,\quad DB=2,\quad AE=6$$

और $DE\parallel BC$, तो $EC$ ज्ञात कीजिए।

BPT से:$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$$$\frac32=\frac6{EC}$$$$3EC=12$$$$\boxed{EC=4}$$

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15. महत्वपूर्ण उदाहरण — Similarity

यदि:$$\triangle ABC\sim\triangle DEF$$

और:$$AB=4,\quad DE=8,\quad BC=6$$

तो $EF$ ज्ञात करें।$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$$$$\frac48=\frac6{EF}$$$$4EF=48$$$$\boxed{EF=12}$$

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🔥 परीक्षा के महत्वपूर्ण प्रश्न

Q1. त्रिभुजों की सर्वांगसमता की चार शर्तें लिखिए।

उत्तर:

1. SSS
2. SAS
3. ASA
4. RHS

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Q2. समरूप त्रिभुज क्या होते हैं?

उत्तर: जिन त्रिभुजों का आकार समान हो और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों, वे समरूप त्रिभुज कहलाते हैं।

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Q3. समरूपता की तीन कसौटियाँ लिखिए।

उत्तर:

1. AA
2. SSS
3. SAS

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Q4. BPT का कथन लिखिए।

उत्तर: यदि त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर रेखा बाकी दो भुजाओं को काटती है, तो वह दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।$$\boxed{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}$$

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Q5. BPT का विलोम लिखिए।

उत्तर: यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समानांतर होती है।

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Q6. पाइथागोरस प्रमेय लिखिए।

उत्तर:

समकोण त्रिभुज में:$$\boxed{\text{कर्ण}^2=\text{आधार}^2+\text{लंब}^2}$$

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Q7. यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात $2:3$ है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

उत्तर:$$\frac{Area_1}{Area_2} = \left(\frac23\right)^2$$$$\boxed{4:9}$$

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Q8. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात $25:36$ है, तो संगत भुजाओं का अनुपात क्या होगा?

उत्तर:$$\frac{\text{भुजा}_1}{\text{भुजा}_2} = \sqrt{\frac{25}{36}}$$$$\boxed{5:6}$$

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⭐ बहुत जरूरी प्रमेय एक साथ

प्रमेय 1:

$$\boxed{SSS}$$

प्रमेय 2:

$$\boxed{SAS}$$

प्रमेय 3:

$$\boxed{ASA}$$

प्रमेय 4:

$$\boxed{RHS}$$

समरूपता:

$$\boxed{AA,\ SSS,\ SAS}$$

BPT:

$$\boxed{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}$$

पाइथागोरस:

$$\boxed{Hypotenuse^2=Base^2+Perpendicular^2}$$

क्षेत्रफल:

$$\boxed{ \frac{Area_1}{Area_2} = \left(\frac{Corresponding\ Side_1} {Corresponding\ Side_2}\right)^2 }$$

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📝 Last Minute Revision

त्रिभुज अध्याय में सबसे महत्वपूर्ण:

✅ सर्वांगसम त्रिभुज
✅ SSS, SAS, ASA, RHS
✅ समरूप त्रिभुज
✅ AA, SSS, SAS
✅ Basic Proportionality Theorem
✅ BPT का विलोम
✅ समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ
✅ क्षेत्रफल का अनुपात
✅ पाइथागोरस प्रमेय
✅ पाइथागोरस का विलोम
✅ Numericals और Proof-based Questions

🎯 बोर्ड परीक्षा में खासकर BPT, Similarity और Pythagoras के theorem-based questions जरूर तैयार करना।