1. वृत्त क्या है?

किसी निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं से बनी बंद आकृति को वृत्त कहते हैं।

निश्चित बिंदु को केंद्र (Centre) कहते हैं।

केंद्र से वृत्त के किसी बिंदु तक की दूरी को त्रिज्या (Radius) कहते हैं।

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2. वृत्त के मुख्य भाग

🔵 केंद्र (Centre)

वृत्त का निश्चित बिंदु।

🔵 त्रिज्या (Radius)

केंद्र से वृत्त की सीमा तक की दूरी।$$\boxed{r}$$

🔵 व्यास (Diameter)

केंद्र से होकर जाने वाली जीवा को व्यास कहते हैं।$$\boxed{d=2r}$$

🔵 जीवा (Chord)

वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड जीवा कहलाता है।

🔵 चाप (Arc)

वृत्त की परिधि का कोई भाग चाप कहलाता है।

🔵 छेदक (Secant)

जो रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, उसे छेदक कहते हैं।

🔵 स्पर्श रेखा (Tangent)

जो रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है, उसे स्पर्श रेखा कहते हैं।

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3. स्पर्श बिंदु

जिस बिंदु पर स्पर्श रेखा वृत्त को छूती है, उसे स्पर्श बिंदु (Point of Contact) कहते हैं।

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⭐ 4. सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय — स्पर्श रेखा और त्रिज्या

प्रमेय:

वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा उस बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंबवत होती है।

यदि $PT$ स्पर्श रेखा है और $OP$ त्रिज्या है, तो:$$\boxed{OP\perp PT}$$

इसलिए:$$\angle OPT=90^\circ$$

याद रखने की ट्रिक:

Tangent ⟂ Radius

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⭐ 5. प्रमेय का विलोम

यदि किसी वृत्त की त्रिज्या के अंतिम बिंदु से जाने वाली रेखा त्रिज्या पर लंबवत है, तो वह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होगी।

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6. बाहरी बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ?

वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

यदि बाहरी बिंदु $P$ है और स्पर्श बिंदु $A,B$ हैं:$$PA,\ PB$$

दोनों स्पर्श रेखाएँ हैं।

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⭐ 7. बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई

किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।

यदि:$$PA,\ PB$$

स्पर्श रेखाएँ हैं, तो:$$\boxed{PA=PB}$$

यह बहुत महत्वपूर्ण प्रमेय है। ⭐⭐⭐

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8. इस प्रमेय का उदाहरण

एक बाहरी बिंदु $P$ से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं।

यदि:$$PA=7\text{ cm}$$

तो:$$\boxed{PB=7\text{ cm}}$$

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⭐ 9. केंद्र से स्पर्श बिंदु तक

यदि $PA$ स्पर्श रेखा है और $A$ स्पर्श बिंदु है, तो:$$OA\perp PA$$

इसलिए:$$\angle OAP=90^\circ$$

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10. Tangent और Secant में अंतर

स्पर्श रेखा	छेदक
वृत्त को एक बिंदु पर छूती है	वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है
Tangent	Secant
त्रिज्या पर लंबवत होती है	जरूरी नहीं कि लंबवत हो

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🔥 महत्वपूर्ण प्रश्न और उत्तर

Q1. वृत्त की स्पर्श रेखा क्या है?

उत्तर: वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है, स्पर्श रेखा कहलाती है।

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Q2. स्पर्श बिंदु क्या है?

उत्तर: जिस बिंदु पर स्पर्श रेखा वृत्त को छूती है, उसे स्पर्श बिंदु कहते हैं।

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Q3. एक बाहरी बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर:$$\boxed{2}$$

स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

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Q4. वृत्त की त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच कितना कोण होता है?

उत्तर:$$\boxed{90^\circ}$$

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Q5. बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ कैसी होती हैं?

उत्तर: दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।$$\boxed{PA=PB}$$

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Q6. क्या वृत्त के अंदर के बिंदु से स्पर्श रेखा खींच सकते हैं?

उत्तर: नहीं।

वृत्त के अंदर स्थित बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।

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Q7. वृत्त पर स्थित बिंदु से कितनी स्पर्श रेखा खींची जा सकती है?

उत्तर: केवल एक स्पर्श रेखा।

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Q8. वृत्त के बाहर स्थित बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर: दो।

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Q9. वृत्त के अंदर स्थित बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर: कोई नहीं।

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⭐ 11. बिंदु और वृत्त की स्थिति

किसी बिंदु $P$ की केंद्र $O$ से दूरी $OP$ हो:

यदि:

$$OP<r$$

तो बिंदु वृत्त के अंदर है।

यदि:

$$OP=r$$

तो बिंदु वृत्त पर है।

यदि:

$$OP>r$$

तो बिंदु वृत्त के बाहर है।

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12. स्पर्श रेखा की लंबाई निकालना

यदि बाहरी बिंदु $P$ से स्पर्श रेखा $PT$ खींची गई है और:$$OP=d$$

तथा त्रिज्या:$$OT=r$$

तो $OT\perp PT$

इसलिए पाइथागोरस प्रमेय से:$$OP^2=OT^2+PT^2$$

अतः:$$\boxed{PT=\sqrt{OP^2-r^2}}$$

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⭐ उदाहरण

एक वृत्त की त्रिज्या 5 cm है और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी 13 cm है। स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

दिया:$$r=5,\quad OP=13$$$$PT=\sqrt{13^2-5^2}$$$$=\sqrt{169-25}$$$$=\sqrt{144}$$$$\boxed{PT=12\text{ cm}}$$

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🔥 और महत्वपूर्ण सवाल

Q10. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा कौन-सी होती है?

उत्तर: व्यास वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है।

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Q11. व्यास और त्रिज्या में क्या संबंध है?

$$\boxed{d=2r}$$

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Q12. यदि त्रिज्या 7 cm है, तो व्यास क्या होगा?

$$d=2r$$$$d=2(7)=14$$$$\boxed{14\text{ cm}}$$

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Q13. यदि व्यास 20 cm है, तो त्रिज्या क्या होगी?

$$r=\frac d2$$$$r=\frac{20}{2}$$$$\boxed{10\text{ cm}}$$

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Q14. यदि बाहरी बिंदु से एक स्पर्श रेखा की लंबाई 8 cm है, तो दूसरी स्पर्श रेखा की लंबाई क्या होगी?

$$PA=PB$$

इसलिए:$$\boxed{8\text{ cm}}$$

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Q15. यदि $OP=17$ cm और त्रिज्या $r=8$ cm है, तो स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करें।

$$PT=\sqrt{17^2-8^2}$$$$=\sqrt{289-64}$$$$=\sqrt{225}$$$$\boxed{PT=15\text{ cm}}$$

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🧠 Proof वाला बहुत महत्वपूर्ण सवाल

प्रश्न:

सिद्ध कीजिए कि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।

हल:

मान लें $P$ बाहरी बिंदु है और $PA,PB$ दो स्पर्श रेखाएँ हैं।

केंद्र $O$ को $A$ और $B$ से मिलाएँ।

स्पर्श रेखा और त्रिज्या के प्रमेय से:$$OA\perp PA$$

और$$OB\perp PB$$

इसलिए:$$\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$$

अब:$$OA=OB$$

क्योंकि दोनों वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।

और:$$OP=OP$$

साझी भुजा है।

अतः RHS नियम से:$$\triangle OAP\cong\triangle OBP$$

इसलिए:$$\boxed{PA=PB}$$

अतः सिद्ध हुआ कि बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।

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🎯 बोर्ड के लिए बहुत जरूरी प्रश्न

1. स्पर्श रेखा की परिभाषा लिखिए।

2. स्पर्श बिंदु क्या है?

3. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं।

4. सिद्ध कीजिए कि बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।

5. एक बाहरी बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

6. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा कौन-सी है?

7. $d=2r$ संबंध समझाइए।

8. $OP>r,\ OP=r,\ OP<r$ से बिंदु की स्थिति बताइए।

9. दिए गए केंद्र और त्रिज्या से स्पर्श रेखा की लंबाई निकालिए।

10. Tangent और Secant में अंतर लिखिए।

11. स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच कोण कितना होता है?

12. वृत्त के अंदर, वृत्त पर और वृत्त के बाहर स्थित बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ बनती हैं?

13. दो स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होने का प्रमाण दीजिए।

14. यदि $OP=25$ cm और $r=7$ cm हो, तो tangent की लंबाई ज्ञात कीजिए।

15. यदि tangent = 24 cm और radius = 7 cm हो, तो केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

Q15 का उत्तर:

$$OP^2=OT^2+PT^2$$$$OP^2=7^2+24^2$$$$=49+576=625$$$$\boxed{OP=25\text{ cm}}$$

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⭐ Last Minute Revision

$$\boxed{d=2r}$$$$\boxed{OP<r\Rightarrow \text{अंदर}}$$$$\boxed{OP=r\Rightarrow \text{वृत्त पर}}$$$$\boxed{OP>r\Rightarrow \text{बाहर}}$$$$\boxed{\text{Tangent}\perp\text{Radius}}$$$$\boxed{PA=PB}$$$$\boxed{PT=\sqrt{OP^2-r^2}}$$

सबसे ज्यादा ध्यान: ⭐ स्पर्श रेखा के प्रमेय, दो स्पर्श रेखाओं की बराबरी, RHS proof और tangent की लंबाई वाले numericals पर देना।