1. द्विघात समीकरण क्या है?

जिस समीकरण में चर $x$ की उच्चतम घात 2 हो, उसे द्विघात समीकरण कहते हैं।

सामान्य रूप:

$$\boxed{ax^2+bx+c=0}$$

जहाँ:$$a\ne0$$

और $a,b,c$ वास्तविक संख्याएँ हैं।

उदाहरण:

$$x^2+5x+6=0$$$$2x^2-7x+3=0$$$$3x^2-4=0$$

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2. द्विघात समीकरण की पहचान

जिसमें $x^2$ हो और $x$ की सबसे बड़ी घात 2 हो।

उदाहरण:

$$2x^2+3x+1=0$$

यह द्विघात समीकरण है।

लेकिन:$$2x+5=0$$

यह रैखिक समीकरण है।

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3. द्विघात समीकरण के मुख्य भाग

$$ax^2+bx+c=0$$

इसमें:

• $a$ = $x^2$ का गुणांक
• $b$ = $x$ का गुणांक
• $c$ = अचर पद

उदाहरण:

$$3x^2-7x+2=0$$

यहाँ:$$a=3,\quad b=-7,\quad c=2$$

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4. द्विघात समीकरण का मूल (Roots)

द्विघात समीकरण को सत्य बनाने वाले $x$ के मान मूल (Roots) कहलाते हैं।

उदाहरण:

$$x^2-5x+6=0$$

इसे factorize करें:$$(x-2)(x-3)=0$$

इसलिए:$$x=2,\quad x=3$$

अतः इसके मूल हैं:$$\boxed{2,3}$$

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5. गुणनखंड विधि (Factorisation Method)

उदाहरण:$$x^2-7x+12=0$$

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका:

गुणनफल = 12

और

योग = -7

संख्याएँ हैं $-3,-4$

इसलिए:$$x^2-3x-4x+12=0$$$$x(x-3)-4(x-3)=0$$$$(x-3)(x-4)=0$$

अतः:$$\boxed{x=3,\ 4}$$

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6. शून्य गुणनफल का नियम ⭐

यदि:$$AB=0$$

तो:$$A=0$$

या$$B=0$$

उदाहरण:

$$(x-2)(x-5)=0$$

इसलिए:$$x-2=0$$

या$$x-5=0$$

अतः:$$\boxed{x=2,\ 5}$$

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7. द्विघात सूत्र ⭐⭐⭐

जब factorisation आसान न हो, तब Quadratic Formula का प्रयोग करते हैं।

यदि:$$ax^2+bx+c=0$$

तो:$$\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

इसे द्विघात सूत्र कहते हैं।

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8. विविक्तकर (Discriminant)

$$\boxed{D=b^2-4ac}$$

इसे Discriminant / विविक्तकर कहते हैं।

यह बताता है कि समीकरण के मूल किस प्रकार के होंगे।

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9. विविक्तकर से मूलों की प्रकृति ⭐

यदि:

$$D>0$$

तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल होंगे।

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यदि:

$$D=0$$

तो दो बराबर वास्तविक मूल होंगे।

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यदि:

$$D<0$$

तो कोई वास्तविक मूल नहीं होगा।

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10. उदाहरण — Quadratic Formula

हल कीजिए:$$x^2-5x+6=0$$

यहाँ:$$a=1,\quad b=-5,\quad c=6$$

सूत्र:$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

मान रखने पर:$$x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$$$$x=\frac{5\pm1}{2}$$

इसलिए:$$x=\frac{6}{2}=3$$

या$$x=\frac{4}{2}=2$$

उत्तर:

$$\boxed{x=2,3}$$

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11. मूलों और गुणांकों का संबंध ⭐⭐⭐

यदि:$$ax^2+bx+c=0$$

के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं, तो:

मूलों का योग:

$$\boxed{\alpha+\beta=-\frac{b}{a}}$$

मूलों का गुणनफल:

$$\boxed{\alpha\beta=\frac{c}{a}}$$

यह परीक्षा के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।

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12. उदाहरण

$$2x^2-7x+3=0$$

यहाँ:$$a=2,\quad b=-7,\quad c=3$$

मूलों का योग:$$\alpha+\beta=-\frac{-7}{2}$$$$\boxed{\alpha+\beta=\frac72}$$

मूलों का गुणनफल:$$\alpha\beta=\frac32$$$$\boxed{\alpha\beta=\frac32}$$

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13. मूल दिए हों तो समीकरण बनाना

यदि दो मूल $\alpha$ और $\beta$ दिए हैं, तो समीकरण:$$\boxed{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0}$$

उदाहरण:

मूल हैं:$$2,\ 5$$

योग:$$2+5=7$$

गुणनफल:$$2\times5=10$$

इसलिए:$$\boxed{x^2-7x+10=0}$$

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14. मूल 3 और -2 हों

योग:$$3+(-2)=1$$

गुणनफल:$$3(-2)=-6$$

अतः:$$\boxed{x^2-x-6=0}$$

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15. द्विघात समीकरण का ग्राफ

द्विघात समीकरण:$$y=ax^2+bx+c$$

का ग्राफ परवलय (Parabola) होता है।

यदि $a>0$, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है।

यदि $a<0$, तो परवलय नीचे की ओर खुलता है।

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16. ग्राफ और मूलों का संबंध

परवलय x-अक्ष को:

• दो बिंदुओं पर काटे → दो वास्तविक मूल
• एक बिंदु पर छुए → दो बराबर मूल
• x-अक्ष को न काटे → कोई वास्तविक मूल नहीं

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🔥 परीक्षा के महत्वपूर्ण प्रश्न

Q1. द्विघात समीकरण का सामान्य रूप क्या है?

उत्तर:$$\boxed{ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0}$$

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Q2. द्विघात सूत्र लिखिए।

उत्तर:$$\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

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Q3. विविक्तकर का सूत्र क्या है?

उत्तर:$$\boxed{D=b^2-4ac}$$

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Q4. यदि $D>0$, तो मूल कैसे होंगे?

उत्तर: दो अलग-अलग वास्तविक मूल।

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Q5. यदि $D=0$, तो मूल कैसे होंगे?

उत्तर: दो बराबर वास्तविक मूल।

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Q6. यदि $D<0$, तो क्या होगा?

उत्तर: कोई वास्तविक मूल नहीं होगा।

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Q7. यदि मूल $\alpha,\beta$ हैं तो उनका योग क्या होगा?

उत्तर:$$\boxed{\alpha+\beta=-\frac ba}$$

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Q8. मूलों का गुणनफल क्या होगा?

उत्तर:$$\boxed{\alpha\beta=\frac ca}$$

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Q9. $x^2-9x+20=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

$$x^2-9x+20=0$$$$(x-4)(x-5)=0$$

अतः:$$\boxed{x=4,5}$$

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Q10. $x^2-6x+9=0$ के मूलों की प्रकृति बताइए।

यहाँ:$$a=1,\quad b=-6,\quad c=9$$$$D=b^2-4ac$$$$=(-6)^2-4(1)(9)$$$$=36-36=0$$

अतः दो बराबर वास्तविक मूल हैं।

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📝 बहुत महत्वपूर्ण Word Problems

द्विघात समीकरण से प्रश्न अक्सर इन पर आते हैं:

• दो क्रमागत पूर्णांक
• दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक
• आयत की लंबाई और चौड़ाई
• क्षेत्रफल से संबंधित प्रश्न
• संख्या से संबंधित प्रश्न
• गति और समय
• आयु से संबंधित प्रश्न

तरीका:

Step 1: माना अज्ञात संख्या $x$

Step 2: प्रश्न के अनुसार समीकरण बनाएँ।

Step 3: समीकरण को:$$ax^2+bx+c=0$$

के रूप में लाएँ।

Step 4: Factorisation या Quadratic Formula लगाएँ।

Step 5: उत्तर को प्रश्न के अनुसार लिखें।

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⭐ Last Minute Revision

$$\boxed{ax^2+bx+c=0}$$$$\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$$$\boxed{D=b^2-4ac}$$

मूलों की प्रकृति:

$$D>0 \Rightarrow \text{दो अलग वास्तविक मूल}$$$$D=0 \Rightarrow \text{दो बराबर वास्तविक मूल}$$$$D<0 \Rightarrow \text{कोई वास्तविक मूल नहीं}$$

मूलों का योग:

$$\boxed{\alpha+\beta=-\frac ba}$$

मूलों का गुणनफल:

$$\boxed{\alpha\beta=\frac ca}$$

मूल दिए हों:

$$\boxed{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0}$$

🎯 बोर्ड परीक्षा के लिए सबसे जरूरी: Quadratic Formula, Discriminant, roots की nature, factorisation, roots और coefficients का संबंध, और word problems।