⭐ सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न पहले

1. सांख्यिकी क्या है?

उत्तर: आँकड़ों (Data) को एकत्र करना, व्यवस्थित करना, प्रस्तुत करना और उनका विश्लेषण करना सांख्यिकी (Statistics) कहलाता है।

2. माध्य (Mean) का सूत्र क्या है?

उत्तर:$$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$$

जहाँ $x_i$ = प्रेक्षण और $n$ = कुल प्रेक्षण।

3. वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य का सूत्र लिखिए।

उत्तर:$$\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$$

4. माध्यिका (Median) क्या है?

उत्तर: आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में रखने पर बीच का मान माध्यिका कहलाता है।

5. बहुलक (Mode) क्या है?

उत्तर: जो मान आँकड़ों में सबसे अधिक बार आता है, उसे बहुलक कहते हैं।

6. माध्यिका का सूत्र लिखिए।

उत्तर:$$Median=l+\left(\frac{\frac n2-cf}{f}\right)h$$

जहाँ

• $l$ = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
• $n$ = कुल आवृत्ति
• $cf$ = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति
• $f$ = माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
• $h$ = वर्ग की चौड़ाई

7. बहुलक का सूत्र लिखिए।

उत्तर:$$Mode=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right)h$$

8. माध्य, माध्यिका और बहुलक में संबंध लिखिए।

उत्तर:$$\boxed{Mode=3Median-2Mean}$$

9. प्रायिकता क्या है?

उत्तर: किसी घटना के घटित होने की संभावना को प्रायिकता (Probability) कहते हैं।

10. प्रायिकता का मूल सूत्र लिखिए।

उत्तर:$$\boxed{P(E)=\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}}$$

11. प्रायिकता का मान किस सीमा में होता है?

उत्तर:$$\boxed{0\leq P(E)\leq1}$$

12. असंभव घटना की प्रायिकता कितनी होती है?

उत्तर:$$P(E)=0$$

13. निश्चित घटना की प्रायिकता कितनी होती है?

उत्तर:$$P(E)=1$$

14. घटना $E$ के न होने की प्रायिकता क्या होगी?

उत्तर:$$\boxed{P(\overline E)=1-P(E)}$$

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📈 भाग–1 : सांख्यिकी

1. आँकड़े (Data)

उदाहरण:$$5,7,8,5,9,10,5$$

यह आँकड़ों का समूह है।

आवृत्ति (Frequency)

कोई संख्या कितनी बार आती है, उसे उसकी आवृत्ति कहते हैं।

ऊपर 5 तीन बार आया है, इसलिए 5 की आवृत्ति = 3।

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2. माध्य (Mean)

सरल आँकड़ों के लिए

$$\boxed{Mean=\frac{\text{सभी प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की संख्या}}}$$

उदाहरण

आँकड़े हैं:$$4,6,8,10,12$$

योग:$$4+6+8+10+12=40$$

कुल संख्या = 5$$Mean=\frac{40}{5}=8$$

उत्तर = 8

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3. वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य

वर्ग	आवृत्ति $f_i$
0–10	3
10–20	5
20–30	7

सबसे पहले वर्ग-चिह्न:$$x_i=\frac{\text{ऊपरी सीमा + निचली सीमा}}2$$

फिर:$$\bar{x}=\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}$$

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⭐ माध्य निकालने की तीन विधियाँ

1. प्रत्यक्ष विधि

$$\bar{x}=\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}$$

2. कल्पित माध्य विधि

$$\boxed{\bar{x}=a+\frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}}$$

3. चरण-विचलन विधि

$$\boxed{\bar{x}=a+h\frac{\sum f_iu_i}{\sum f_i}}$$

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4. माध्यिका (Median)

माध्यिका निकालने के लिए:

1. वर्ग बनाइए।
2. आवृत्ति लिखिए।
3. संचयी आवृत्ति $cf$ निकालिए।
4. $n/2$ निकालिए।
5. जिस वर्ग की $cf$, $n/2$ से पहली बार बड़ी या बराबर हो, वह माध्यिका वर्ग होगा।

फिर:$$Median=l+\left(\frac{n/2-cf}{f}\right)h$$

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5. बहुलक (Mode)

जिस वर्ग की आवृत्ति सबसे अधिक होती है, वह बहुलक वर्ग कहलाता है।

सूत्र:$$Mode=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right)h$$

जहाँ:

• $f_1$ = बहुलक वर्ग की आवृत्ति
• $f_0$ = उससे पहले की आवृत्ति
• $f_2$ = उसके बाद की आवृत्ति

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⭐ परीक्षा में पूछे जाने वाले सांख्यिकी के सवाल

Q15. वर्ग-चिह्न का सूत्र क्या है?

उत्तर:$$x_i=\frac{\text{ऊपरी सीमा + निचली सीमा}}2$$

Q16. संचयी आवृत्ति क्या है?

उत्तर: आवृत्तियों को क्रम से जोड़ते जाने पर प्राप्त आवृत्ति को संचयी आवृत्ति कहते हैं।

Q17. माध्यिका वर्ग कैसे निर्धारित करते हैं?

उत्तर: जिस वर्ग की संचयी आवृत्ति $n/2$ से पहली बार बड़ी या बराबर होती है, वह माध्यिका वर्ग होता है।

Q18. बहुलक वर्ग क्या होता है?

उत्तर: जिस वर्ग की आवृत्ति सबसे अधिक होती है, उसे बहुलक वर्ग कहते हैं।

Q19. यदि Mean = 20 और Median = 22 है, तो Mode ज्ञात कीजिए।

हल:$$Mode=3Median-2Mean$$$$=3(22)-2(20)$$$$=66-40=26$$

उत्तर = 26

Q20. Mean = 15 और Mode = 21 हो तो Median ज्ञात कीजिए।

$$Mode=3Median-2Mean$$$$21=3Median-30$$$$51=3Median$$$$Median=17$$

उत्तर = 17

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🎯 भाग–2 : प्रायिकता

1. प्रयोग (Experiment)

ऐसी प्रक्रिया जिसका परिणाम पहले से निश्चित न हो, यादृच्छिक प्रयोग कहलाती है।

उदाहरण:

• सिक्का उछालना
• पासा फेंकना
• ताश का पत्ता निकालना

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2. परिणाम (Outcome)

किसी प्रयोग से प्राप्त संभावित परिणाम को परिणाम कहते हैं।

सिक्का उछालने पर:

$$S=\{H,T\}$$

कुल परिणाम = 2

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3. घटना (Event)

परिणामों के समूह को घटना कहते हैं।

उदाहरण:

पासा फेंकने पर सम संख्या आने की घटना:$$E=\{2,4,6\}$$

अनुकूल परिणाम = 3

कुल परिणाम = 6

इसलिए:$$P(E)=\frac36=\frac12$$

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⭐ प्रायिकता के महत्वपूर्ण नियम

नियम 1

$$\boxed{0\leq P(E)\leq1}$$

नियम 2

$$\boxed{P(E)+P(\overline E)=1}$$

नियम 3

$$\boxed{P(\overline E)=1-P(E)}$$

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🎲 महत्वपूर्ण उदाहरण

Q21. एक सिक्का उछाला जाता है। Head आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

कुल परिणाम = 2

अनुकूल परिणाम = 1$$P(H)=\frac12$$

उत्तर = 1/21/2

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Q22. एक पासा फेंका जाता है। 6 आने की प्रायिकता क्या है?

कुल परिणाम:$$1,2,3,4,5,6$$

कुल = 6

अनुकूल = 1$$P(6)=\frac16$$

उत्तर = 1/61/6

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Q23. पासा फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

सम संख्याएँ:$$2,4,6$$

अनुकूल परिणाम = 3

कुल परिणाम = 6$$P(E)=\frac36=\frac12$$

उत्तर = 1/21/2

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Q24. पासा फेंकने पर विषम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

विषम संख्याएँ:$$1,3,5$$$$P(E)=\frac36=\frac12$$

उत्तर = 1/21/2

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Q25. पासा फेंकने पर 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

4 से बड़ी संख्याएँ:$$5,6$$

अनुकूल परिणाम = 2$$P(E)=\frac26=\frac13$$

उत्तर = 1/31/3

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🃏 ताश के पत्तों से जुड़े सवाल

एक सामान्य ताश की गड्डी में:$$52 \text{ पत्ते}$$

चार प्रकार के चिन्ह होते हैं:

• ♥ Hearts
• ♦ Diamonds
• ♣ Clubs
• ♠ Spades

प्रत्येक प्रकार के 13 पत्ते होते हैं।

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Q26. ताश की गड्डी से एक लाल पत्ता निकलने की प्रायिकता क्या है?

लाल पत्ते = 26

कुल पत्ते = 52$$P(E)=\frac{26}{52}=\frac12$$

उत्तर = 1/21/2

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Q27. एक काला पत्ता निकलने की प्रायिकता क्या है?

काले पत्ते = 26$$P(E)=\frac{26}{52}=\frac12$$

उत्तर = 1/21/2

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Q28. एक इक्का (Ace) निकलने की प्रायिकता क्या है?

कुल इक्के = 4$$P(E)=\frac4{52}=\frac1{13}$$

उत्तर = 1/131/13

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Q29. एक King निकलने की प्रायिकता क्या है?

King = 4$$P(E)=\frac4{52}=\frac1{13}$$

उत्तर = 1/131/13

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⭐ और महत्वपूर्ण परीक्षा प्रश्न

Q30. किसी घटना की प्रायिकता $0$ है। इसका क्या अर्थ है?

उत्तर: घटना असंभव है।

Q31. किसी घटना की प्रायिकता $1$ है। इसका क्या अर्थ है?

उत्तर: घटना निश्चित है।

Q32. यदि $P(E)=0.7$, तो $P(\overline E)$ ज्ञात कीजिए।

$$P(\overline E)=1-P(E)$$$$=1-0.7=0.3$$

उत्तर = 0.3

Q33. यदि किसी घटना की प्रायिकता $3/5$ है, तो उसकी पूरक घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

$$P(\overline E)=1-\frac35$$$$=\frac25$$

उत्तर = 2/52/5

Q34. पासा फेंकने पर 3 से छोटी संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

अनुकूल परिणाम:$$1,2$$$$P(E)=\frac26=\frac13$$

उत्तर = 1/31/3

Q35. पासा फेंकने पर 3 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

अनुकूल परिणाम:$$4,5,6$$$$P(E)=\frac36=\frac12$$

उत्तर = 1/21/2

Q36. पासा फेंकने पर अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

अभाज्य संख्याएँ:$$2,3,5$$$$P(E)=\frac36=\frac12$$

उत्तर = 1/21/2

Q37. दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। कुल संभावित परिणाम लिखिए।

$$S=\{HH,HT,TH,TT\}$$

कुल परिणाम = 4

Q38. दो सिक्के उछालने पर दोनों Head आने की प्रायिकता क्या है?

अनुकूल परिणाम = HH = 1

कुल = 4$$P(E)=\frac14$$

उत्तर = 1/41/4

Q39. दो सिक्के उछालने पर कम से कम एक Head आने की प्रायिकता क्या है?

परिणाम:$$HH,HT,TH,TT$$

कम से कम एक Head:$$HH,HT,TH$$$$P(E)=\frac34$$

उत्तर = 3/43/4

Q40. दो सिक्के उछालने पर दोनों Tail आने की प्रायिकता क्या है?

$$P(TT)=\frac14$$

उत्तर = 1/41/4

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📝 बोर्ड परीक्षा के लिए बहुत महत्वपूर्ण

सांख्यिकी के मुख्य सूत्र

$$\boxed{\bar{x}=\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}}$$$$\boxed{Median=l+\left(\frac{n/2-cf}{f}\right)h}$$$$\boxed{Mode=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right)h}$$$$\boxed{Mode=3Median-2Mean}$$

प्रायिकता के मुख्य सूत्र

$$\boxed{P(E)=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}}}$$$$\boxed{0\leq P(E)\leq1}$$$$\boxed{P(\overline E)=1-P(E)}$$$$\boxed{P(E)+P(\overline E)=1}$$

🔥 Last Minute Revision

सांख्यिकी: Mean → Median → Mode → Frequency → Cumulative Frequency

प्रायिकता:
अनुकूल परिणाम ÷ कुल संभावित परिणाम

याद रखें:

• असंभव घटना → 0
• निश्चित घटना → 1
• प्रायिकता हमेशा → 0 से 1 के बीच
• पूरक घटना → 1−P(E)